Problema:
In un triangolo ABC il vertice B ha coordinate (6;-1), la mediana CM e l’altezza CD hanno equazione rispettivamente y+8x=16 e y=4x+4. Determina:
a) le coordinate di A e C
b) l’ortocentro H e il baricentro G del triangolo
c)il perimetro e l’area del triangolo
d) l’equazione della retta parallela al lato AB che,
intersecando i due lati AC e CB, individua con il vertice C
un triangolo che ha area uguale a 1/4 di quella di ABC.
Soluzione:
1 sappiamo che la retta passante per A deve essere perpendicolare a y = 4x + 4
quindi la retta perpendicolare ad a (sulla quale e’ compreso il segmento AB) sarà y = 1/2 – x/4
l’intersezione della retta relativa alla mediana con questa retta appena trovata (che sarà poi l’intersezione della mediana col lato AB del triangolo) si ha in 1/2 – x/4 = 16 – 8x x=2, y=0
ovvero M(2,0)
la distanza tra M(2,0) e A(6,-1) è √((6-2)^2+(-1)^2)=√17 questo valore e’ meta’ del lato AB!
tutto il lato AB allora sara’ 2*√17
sappiamo dove risiede il punto C del triangolo (intersezione tra le die rette relative alla mediana e all’altezza 16 -8x = 4x+4 ) C(1,8)
sapiamo allora anche la dimensione del lato AC (con Pitagora) AC=√106
calcoliamo il punto distante 2*√17 da A(6,-1) sulla retta y = 1/2 – x/4
chiamado x1 l’ascissa incognita abbiamo (sempre per Pitagora)
√((6 – x1)^2 + (-1 – (1/2 – x1/4))^2) = 2√17
√17(6 – x1)/4 = 2√17
x1=-2
da cui y1=1
quindi il vertice B sarà alle coordinate B(-2,1)
e la dimensione del lato BC ( altro Pitagora) BC=√58
possiamo ora calcolare il baricentro
BARICENTRO=[(x1+x2+x3)/3 , (y1+y2+y3)/3]=[ 5/3 , 8/3 ]
e l’ortocentro intersecando la retta parallela alla retta di AC (y = 49/5 – 9·x/5) con l’altra retta relativa all’altezza:
ORTOCENTRO=[-17/31,56/31]
possiamo calcolare area e perimetro del triangolo avendo tutti e tre i lati
AB=2*√17
AC=√106
BC=√58
perimetro = √106 + 2*√17 + √58
area (con Erone) = 31
Passiamo adesso alla domanda d)
sappiamo che c’e’ una retta parallela a y = 1/2 – x/4 che passa per un punto (diciamo) distante “t” da C
quindi y = – x/4 – 31√58·t/232 + 33/4
calcolati i punti di intersezione con i due lati del triangolo
E=[1-3t/√58 , 8-7t/√58] F=[5t/√58+1 , 8-9t/√58]
calcoliamo l’area del triangolo EFC con Erone Area_EFC=31*t^2/58
questa deve essere uguale a 31/4 quindi 31*t^2/58=31/4 e di conseguenza
t = – √58/2 t = √58/2
le soluzioni sono ambedue valide ( con t positivo il “triangolino” sta dentro il triangolo ABC con t negativo sta all’esterno sui prolungamenti dei lati)
sostituendo t a y = – x/4 – 31√58·t/232 + 33/4 troviamo l’equazione della retta richiesta
y = 35/8 – x/4
(l’altra retta col triangolino esterno ad ABC sarebbe stata y = 97/8 – x/4 .. soluzione altrettanto valida dato che nel problema non si richiede nulla di specifico a riguardo)